Cartes thématiques

On dispose d'un paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ». Une question liée à un de ces deux thèmes figure sur chaque carte. 

Les cartes sont mélangées et on en tire une au hasard dans le paquet. Ensuite, on essaye de répondre à la question posée. 

Un groupe de copains participe à ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime qu'il a :

• \(3\)  chances sur \(4\)  de donner la bonne réponse lorsqu'il est interrogé en sciences ;
  
• \(1\)  chance sur \(8\)  de donner la bonne réponse lorsqu'il est interrogé en économie.
  

On note \(\text S\)  l'événement « La question est dans la catégorie Sciences » et \(\text B\)  l'événement « La réponse donnée par le groupe est bonne ».

Partie A

1. Calculer \(P(\text B \cap \text S)\) .

2. Déterminer la probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée.

3. Les événements \(\text S\)  et \(\text B\)  sont-ils indépendants?

Partie B

Pour participer à ce jeu, on doit payer \(5\)  € de droit d'inscription. On recevra :

• \(10\)  € si on est interrogé en sciences et que la réponse est correcte ;
  
• \(30\)  € si on est interrogé en économie et que la réponse est correcte ;
  
• rien si la réponse donnée est fausse.
  

Soit \(X\)  la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe son gain. On appelle gain la différence en euros entre ce qui est reçu et les \(5\)  € de droit d'inscription.

1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\) .

2. Que retourne la fonction Jeu écrite ci-dessous en langage Python avec les listes : \(L =[-5~;~5~;~25]\)  et \(G = [0,5625~;~0,375~; 0,0625]\)  ?

\(\begin{array}{}\texttt{def}\, \textbf{Jeu}\texttt{(L,G):}\\\qquad\; \texttt{n}\;\texttt{=}\;\texttt{len(L)}\\\qquad\; \texttt{E}\;\texttt{=}\;\texttt{0}\\\qquad\; \texttt{for i in range(n):}\\\qquad \qquad\qquad\texttt{E = E+}\texttt{L[i]}^*\texttt{G[i]}\\\qquad\; \texttt{return(E)}\\\end{array}\)